以测度为基础的高等概率论和普通的概率论到底有什么区别？

很赞同 @每半年改一次 的说法，对于非理论研究，仅仅是使用概率论的人来说应用概率论，最重要的是学习了测度之后才掌握了概率论这门“语言”。

举两个给本科生上应用随机过程的例子。本科生（金融专业）的概率论没有学过测度，所以我这门课只能尽量把所有的测度部分尽量精简掉。在大多数时间，其实不用测度的语言是完全可以讲好这门课的，但是总是在不经意间碰到必须使用测度语言的情景。

情景一：我需要向学生们介绍什么是鞅（martingale），鞅的定义是这样的：

但是问题是，里面的 \mathcal{I}_{n} 是啥？好吧，他是滤链（filtration），实际上就是一组单调递增的sigma-代数。但是，sigma代数有事什么？为什么要定义滤链这个东西？

为了不引入太多的测度的东西，我在最开始概率复习的环节，不得不这样介绍sigma代数：

有了这个理解之后，就可以通过一个简单的例子来理解滤链了：

到这里，我们大概可以把滤链理解为一个单调递增的信息集了，这也只是对这些概念本身有了一些初步的了解。然而更严谨的学习，一定逃不开测度的。

那么在介绍鞅的时候为什么一定要引入滤链呢？一方面是因为我们需要使用条件期望，而另一方面，“信息集”的概念对应用中碰到的情况做了恰当的抽象，更加方便使用。

所以如果没有学过测度（比如条件期望的定义）其实是可以的，这些东西大概都可以理解，但是也只能止步于了解和简单应用的层次。

情景二：我的这门随机过程课因为是开给金融工程专业的，所以最终我会落脚在随机微分方程和等价鞅测度上。好了，现在你需要向学生解释什么是测度的等价。。。等等，什么是测度？好吧，我尽量避免“测度”这个词出现，改为其同义词，概率函数吧，这个时候就逃不开Radon-Nikodym导数了：

怎么说呢，讲到这里我是虚的，很难在逃开测度知识的前提下把这个定义讲明白。没办法，老办法，只能讲直觉了：如果两个概率函数可以使用一个中间的密度函数相互算出来，那就是等价了。

这还好办，Girsanov定理怎么办？

当然，其实Girsanov定理在应用中根本不重要：我们只需要知道等价鞅测度存在就好了，为了应用很多时候根本不需要这个导数。

然而，可能很多人还没有熬到看懂如何应用的时候，就已经在Girsanov定理这里放弃了。

从入门到放弃，可能就是因为几个概念不知道而已。

所以，哪怕你是做纯应用，懂一点以测度为基础的概率论也是非常有必要的。

（编辑：温州站长网）

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